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Función (matemáticas)

Función (matemáticas), en matemáticas, término usado para indicar la relación o correspondencia entre dos o más cantidades. El término función fue usado por primera vez en 1637 por el matemático francés René Descartes para designar una potencia xn de la variable x.

En 1694 el matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz utilizó el término para referirse a varios aspectos de una curva, como su pendiente.

Hasta recientemente, su uso más generalizado ha sido el definido en 1829 por el matemático alemán Peter Dirichlet.

Dirichlet entendió la función como una variable y, llamada variable dependiente, cuyos valores son fijados o determinados de una forma definida según los valores que se asignen a la variable independiente x, o a varias variables independientes x1, x2, …, xk.

Los valores, tanto de la variable dependiente, como de las variables independientes, son números reales o complejos.

La expresión y = f(x), leída “y es función de x” indica la interdependencia entre las variables x e y; f(x) se daba normalmente en forma explícita, como f(x) = x2 – 3x + 5, o mediante una regla expresada en palabras, como f(x) es el primer entero mayor que x para todos aquellos x que sean reales (véase número). Si a es un número, entonces f(a) es el valor de la función para el valor x = a. Así, en el primer ejemplo, f(3) = 32 – 3 · 3 + 5 = 5, f(-4) = (-4)2 – 3(-4) + 5 = 33; en el segundo ejemplo, f(3) = f(3,1) = f(p) = 4.

La aparición de la teoría de conjuntos primero extendió, y luego alteró sustancialmente, el concepto de función. El concepto de función en las matemáticas de nuestros días queda ilustrado a continuación.

Sean X e Y dos conjuntos con elementos cualesquiera; la variable x representa un elemento del conjunto X, y la variable y representa un elemento del conjunto Y.

Los elementos de ambos conjuntos pueden ser o no números, y los elementos de X no tienen que ser necesariamente del mismo tipo que los de Y.

Por ejemplo, X puede ser el conjunto de los doce signos del zodíaco e Y el conjunto de los enteros positivos. Sea P el conjunto de todos los posibles pares ordenados (x, y) y sea F un subconjunto de P con la propiedad de que si (x1, y1) y (x2, y2) son dos elementos de F, entonces si y1 ≠ y2 implica que x1 ≠ x2 esto es, F contiene no más de un par ordenado con una x dada como primer elemento. (Si x1 ≠ x2, sin embargo, puede ocurrir que y1 = y2 ).

Una función queda ahora definida como el conjunto F de pares ordenados, con la condición señalada, y se escribe F: X → Y.

El conjunto X1 de las x que aparecen como primer elemento de los pares ordenados de F se denomina dominio de la función F; el conjunto Y1 de las y que aparecen como segundo elemento de los pares ordenados se denomina rango de la función F.

De esta manera, {(Piscis, 7), (Sagitario, 4), (Capricornio, 4)} es una función en la que X = conjunto de los doce signos del zodíaco e Y = conjunto de los enteros positivos; el dominio son los tres signos mencionados y el rango son 4 y 7.

El concepto moderno de función está relacionado con la idea de Dirichlet. Dirichlet consideró que y = x2 – 3x + 5 era una función; hoy en día, se considera que y = x2 – 3x + 5 es la relación que determina la y correspondiente a una x dada para un par ordenado de la función ; así, la relación anterior determina que (3, 5), (-4, 33) son dos de los infinitos elementos de la función.

Aunque y = f(x) se usa hoy todavía, es más correcto si se lee “y está funcionalmente relacionado con x”.

Las funciones se denominan también transformaciones o aplicaciones en muchas ramas de las matemáticas. Si el conjunto Y1 es un subconjunto propio de Y (esto es, al menos una y pertenece a Y pero no a Y1), entonces F es una función, transformación o aplicación del dominio X1 en Y; si Y1 = Y, F es una función, transformación o aplicación de X1 sobre Y.