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Logaritmo

Logaritmo, en matemáticas, es el exponente o potencia a la que un número fijo, llamado base, se ha de elevar para dar un número dado.

Por ejemplo, en la expresión 102 = 100, el logaritmo de 100 en base 10 es 2.

Esto se escribe como log10 100 = 2.

Los logaritmos fueron originalmente inventados para simplificar los procedimientos aritméticos de multiplicación, división, potencias y extracción de raíces, pero actualmente tienen muchas aplicaciones tanto en las matemáticas puras como en las aplicadas.

Las primeras tablas de logaritmos fueron publicadas por separado por el matemático escocés John Napier en 1614 y por el suizo Justus Byrgius en 1620.

La primera tabla de logaritmos comunes (los de base 10) fue compilada por el matemático inglés Henry Briggs.

A menudo se utiliza un sistema de logaritmos en los que la base es el número trascendente e; son los llamados logaritmos naturales, logaritmos neperianos o simplemente neperianos, y normalmente se escriben como ‘ln’ en vez de ‘loge’.

Un antilogaritmo es la base elevada a la potencia del número dado. Por ejemplo, el antilogaritmo de 2 en base 10 es 102 = 100.

El uso de los logaritmos se puede entender más fácilmente utilizando una serie de potencias del número 2: 21, 22, 23, 24, 25 y 26, que son la sucesión 2, 4, 8, 16, 32 y 64.

Los exponentes 1, 2, 3, 4, 5 y 6 son los logaritmos en base 2 de estos números. Para multiplicar dos números de esta sucesión, basta con sumar los logaritmos de los números y después calcular el antilogaritmo de la suma, que es igual a la base elevada a la suma.

Usando este procedimiento, para multiplicar 16 por 4, primero vemos que los logaritmos de 16 y 4 son 4 y 2 respectivamente, la suma de los logaritmos 4 y 2 es 6, y el antilogaritmo de 6 es 64, el producto buscado.

Para dividir, se restan los logaritmos.

Así, para dividir 32 por 8, se resta 3 de 5, que da 2 que es el logaritmo del cociente, 4.

Para elevar un número a una potencia cualquiera, se multiplica el logaritmo del número por la potencia deseada y se calcula el antilogaritmo.

De esta manera, para hallar 43: log2 4 = 2, 3 × 2 = 6, antilog 6 = 64, que es 4 a la tercera potencia.

La extracción de raíces se calcula dividiendo el logaritmo del radicando por la raíz. Para calcular la raíz quinta de 32: log2 32 = 5, 5 : 5 = 1, antilog 1 = 2, que es la raíz quinta de 32.

El principal problema al construir una tabla de logaritmos es conseguir que los intervalos entre dos valores sucesivos sean lo suficientemente pequeños.

En los ejemplos anteriores los valores eran las potencias 2, 4, 8,…, que están bastante alejados entre sí, por lo que no son útiles para multiplicar números grandes.

Usando procedimientos matemáticos avanzados, se puede calcular el logaritmo de cualquier número en cualquier base, y existen tablas de logaritmos muy detalladas.

Un logaritmo está formado por un número entero y una fracción decimal, llamados característica y mantisa respectivamente.

En el sistema de los logaritmos comunes—base 10— el logaritmo de 7 tiene característica 0 y mantisa 84510 (con cinco cifras decimales correctas) por lo que se escribe 0,84510.

El logaritmo de 70 es 1,84510; el logaritmo de 700 es 2,84510.

El logaritmo del número 0,7 es -0,15490, que se escribe a veces como 9,84510 – 10 para simplificar los cálculos.

Hoy en día las tablas de logaritmos han sido sustituidas por calculadoras y ordenadores con funciones logarítmicas.